Dynamical Systems & Fractals
Динамические системы и фракталы
Глава о том, как простые правила порождают сложное поведение: логистическое отображение, каскад удвоений периода, постоянная Фейгенбаума, странные аттракторы и фрактальная размерность. Прямо соседствует с топологическим анализом данных и с анализом временных рядов.
Logistic Mapактуально
Логистическое отображениеПростейшая формула, порождающая хаос: следующее значение равно r·x·(1−x). Модель роста популяции с ограниченным ресурсом.
Bifurcationsактуально
БифуркацииКачественная перестройка поведения системы при плавном изменении параметра: одно равновесие сменяется двумя, цикл удваивает период.
Feigenbaum Constantактуально
Постоянная ФейгенбаумаУниверсальное число δ ≈ 4.669, описывающее скорость каскада удвоений периода. Одинаково для огромного класса совершенно разных систем.
Chaosактуально
Детерминированный хаосПолностью детерминированная система, поведение которой невозможно предсказать надолго из-за чувствительности к начальным условиям.
Lyapunov Exponentактуально
Показатель ЛяпуноваМера скорости разбегания близких траекторий. Положительное значение — признак хаоса.
Attractorsактуально
АттракторыМножество, к которому стремятся траектории системы: точка, цикл, тор или странный аттрактор фрактальной структуры.
Fractalsактуально
ФракталыОбъекты, устроенные одинаково на разных масштабах. Их размерность дробна, а длина зависит от линейки измерения.
Mandelbrot Setактуально
Множество МандельбротаМножество параметров c, при которых итерации z → z² + c не уходят в бесконечность. Простейшее правило, дающее бесконечно сложную границу.
Fractal Dimensionактуально
Фрактальная размерностьЧисло, показывающее, как растёт «объём» объекта при уменьшении масштаба. Для фракталов оно дробное.
Self-similarityактуально
СамоподобиеСвойство структуры повторять себя на разных масштабах — точно или статистически.
1/f Noiseактуально
Розовый шум 1/fСигнал, спектральная плотность которого убывает обратно пропорционально частоте. Встречается в электронике, музыке, трафике и нейронной активности.
Power Lawактуально
Степенное распределениеиз «Теория вероятностей и распределения»Плотность убывает как степень: редкие события встречаются намного чаще, чем предсказывает нормальный закон. Распределения Парето и Ципфа — его классические формы.
Scale-free Networksактуально
Безмасштабные сетииз «Графы и сети»Сети, в которых распределение степеней вершин подчиняется степенному закону: немного «хабов» и очень много слабо связанных вершин.
Takens' Theoremактуально
Теорема ТакенсаМост между рядом и динамикой: по одному наблюдаемому сигналу можно восстановить топологию аттрактора системы.
Complex Systemsактуально
Сложные системыСистемы из множества взаимодействующих элементов, где коллективное поведение не сводится к сумме частей.
TDA + Time Seriesновинка
TDA и временные рядыиз «Топологический анализ данных»Ряд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.
Anomaly detectionактуально
Поиск аномалий во временииз «Временные ряды»Обнаружение точечных выбросов, сдвигов уровня и аномальных подпоследовательностей.
4 тем показаны здесь из других глав — они подходят по смыслу и открываются в своей главе.