Приближение функции многочленом по производным в точке. Инструмент, которым обосновывают почти все методы оптимизации.
- значение в текущей точке
- линейная поправка — на ней построен градиентный спуск
- квадратичная поправка (кривизна) — на ней построен метод Ньютона и формулы XGBoost
Ключевые тезисы
- Разложение первого порядка даёт градиентный спуск, второго — метод Ньютона.
- XGBoost раскладывает произвольную функцию потерь до второго порядка — отсюда его формулы.
- Остаточный член показывает, насколько приближение верно вдали от точки разложения.
Подробный разбор
2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.
1Тейлор и методы оптимизации
Откуда берутся формулы шагов.
- приращение аргумента
- веса модели — то, что подбирается при обучении
- функция, о которой идёт речь
- градиент: вектор частных производных
- транспонирование: строка вместо столбца
- Оставили первый член — минимизация даёт шаг против градиента (градиентный спуск).
- Оставили второй — получаем метод Ньютона: .
- XGBoost применяет ровно это разложение к произвольной функции потерь, отсюда и в его формулах.
2Полезные разложения
Формулы, которые стоит помнить.
- аргумент функции — точка, в которой её рассматривают
- логарифм: превращает произведения в суммы и сжимает масштаб
- экспонента
Эти приближения объясняют, например, почему log1p и expm1 численно устойчивее наивных формул при малых аргументах, и почему обучение с малым learning rate ведёт себя «почти линейно».
Связанные темы
Аппарат анализа
Limits and Continuity85%
Пределы и непрерывность · Математический анализПредел описывает, к чему стремится функция вблизи точки. На этом понятии держатся производная, интеграл и вся теория сходимости алгоритмов.
Derivative85%
Производная · Математический анализСкорость изменения функции: предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Геометрически — наклон касательной.
Differentiation Rules85%
Правила дифференцирования · Математический анализСумма, произведение, частное и композиция — четыре правила, которых достаточно, чтобы продифференцировать почти любую функцию потерь вручную.
Multivariable Calculus85%
Многомерный анализ · Математический анализФункции многих переменных: частные производные, градиент, производная по направлению и линии уровня.
Jacobian85%
Якобиан · Математический анализМатрица частных производных векторной функции. Описывает, как преобразование растягивает пространство локально.
Lagrange Multipliers85%
Множители Лагранжа · Математический анализМетод условной оптимизации: минимизировать функцию при ограничениях, не решая их подстановкой.
Convexity85%
Выпуклость · Математический анализСвойство функции, гарантирующее единственность минимума и сходимость градиентных методов.
Numerical Differentiation85%
Численное дифференцирование · Математический анализПриближение производной конечными разностями: медленно и неточно, но незаменимо для проверки аналитических градиентов.
Series and Convergence85%
Ряды и сходимость · Математический анализКогда бесконечная сумма имеет конечное значение и с какой скоростью алгоритм приближается к ответу.
Integral85%
Интеграл · Математический анализОпределённый интеграл — площадь под кривой, неопределённый — обратная операция к дифференцированию. В ML интеграл почти всегда означает математическое ожидание.
Differential Equations85%
Дифференциальные уравнения · Математический анализУравнения, связывающие функцию с её производными. Описывают динамику — от роста популяций до обратного процесса в диффузионных моделях.
Calculus85%
Математический анализ · ОсновыПроизводные показывают, как изменится ошибка при малом изменении параметра. Именно это делает возможным градиентное обучение.
Gradient85%
Градиент · Математический справочникВектор частных производных, указывающий направление наибыстрейшего роста функции.
Hessian85%
Гессиан · Математический справочникМатрица вторых производных, описывающая локальную кривизну функции.
Backpropagation85%
Обратное распространение ошибки · Глубокое обучениеЭффективное вычисление градиентов по всем параметрам сети за один обратный проход с помощью правила цепочки.