Persistence Diagrams

Каждая топологическая особенность — точка (рождение, смерть) на плоскости. Компактная сводка формы данных.

Ключевые тезисы

Расстояние от точки до диагонали = устойчивость особенности.
Сравниваются метриками bottleneck и Wasserstein.
Диаграмма — мультимножество, поэтому напрямую в ML-модель не подаётся.

Подробный разбор

2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.

Как читать диаграмму

Каждая точка — одна топологическая особенность.

По горизонтали откладывают момент рождения, по вертикали — смерти. Все точки лежат выше диагонали (умереть раньше, чем родиться, нельзя). Расстояние до диагонали = время жизни = устойчивость особенности.

Точки у диагонали — шум.
Одиночная точка $H_{1}$ высоко над диагональю — уверенный цикл в данных.
Несколько долгоживущих точек $H_{0}$ — данные распадаются на кластеры.

d_{B} (D_{1}, D_{2}) = γ in f p \in D_{1} sup ∥ p - γ (p) ∥_{\infty}

Обозначения

$γ$ коэффициент, управляющий вкладом дальних членов
$p$ вероятность (или плотность распределения)
$∥ \cdot ∥$ норма — длина вектора

Bottleneck-расстояние: оптимальное сопоставление точек двух диаграмм

На практике

Диаграмма — это мультимножество точек переменного размера. В таком виде её нельзя подать в бустинг: нужна векторизация — ландшафты, образы, энтропия.

Расстояния между диаграммами

Bottleneck и Wasserstein — и что выбрать.

W_{p} (D_{1}, D_{2}) = (γ in f x \in D_{1} \sum ∥ x - γ (x) ∥_{\infty}^{p})^{1/ p}

Обозначения

$γ$ коэффициент, управляющий вкладом дальних членов
$x$ объект: вектор признаков
$p$ вероятность (или плотность распределения)
$\sum$ суммирование по всем перечисленным элементам
$∥ \cdot ∥$ норма — длина вектора

Bottleneck ( $p = \infty$ ) смотрит только на худшее несовпадение — устойчив, но грубоват.
Wasserstein учитывает все точки: чувствительнее к общей структуре, чаще используется как признак.
Точки могут «сопоставляться с диагональю» — так формализуется рождение и исчезновение шумовых особенностей.

Связанные темы

Топология данных

Ключевые тезисы

Подробный разбор

Как читать диаграмму

Расстояния между диаграммами

Связанные темы

Topology basics90%

Simplicial complexes90%

Homology90%

Persistent Homology90%

Persistence Landscapes90%

Betti Numbers90%

Mapper90%

Topological features90%

TDA + Machine Learning90%

TDA + Time Series90%

Metric spaces90%