Строит граф-скелет данных: проекция фильтрующей функцией, покрытие интервалами, локальная кластеризация и склейка.
Ключевые тезисы
- Даёт наглядную карту структуры высокоразмерных данных.
- Знаменит выделением подтипа рака груди по топологии экспрессии генов.
- Результат чувствителен к выбору фильтра, покрытия и алгоритма кластеризации.
Подробный разбор
2 подтем — раскройте любую, чтобы увидеть объяснение, формулы, примеры и интерактивные графики.
1Алгоритм Mapper по шагам
Как получить граф-карту высокоразмерных данных.
- Выбрать фильтрующую функцию (плотность, первая компонента PCA, предсказание модели).
- Покрыть область значений перекрывающимися интервалами.
- В каждом прообразе интервала запустить кластеризацию.
- Каждый кластер — вершина графа; вершины соединяются, если кластеры пересекаются.
Результат — граф, сохраняющий структуру связности данных: ветвления, петли, «хвосты». В отличие от t-SNE, здесь видна не только близость, но и топология.
На данных экспрессии генов при раке молочной железы Mapper выделил «отросток» графа, соответствующий подгруппе пациентов с существенно лучшей выживаемостью. Обычная кластеризация эту подгруппу не выделяла.
Результат чувствителен к трём выборам: фильтр, число и перекрытие интервалов, алгоритм кластеризации. Обязательно проверяйте устойчивость картины к их изменению.
2Настройка Mapper
Три ручки и их влияние на картину.
| Параметр | Мало | Много |
|---|---|---|
| Число интервалов | грубый граф, детали теряются | рассыпающийся граф из мелких вершин |
| Перекрытие | граф распадается на куски | всё сливается в один ком |
| Фильтр | определяет, какую структуру вы увидите |
- Частые фильтры: плотность (эксцентриситет), первая компонента PCA, предсказание модели, время.
- Проверяйте устойчивость: незначительное изменение параметров не должно менять качественную картину.
Связанные темы
Кластеризация и её оценка · Топология данных
Topology basics90%
Основы топологии · Топологический анализ данныхТопология изучает свойства, сохраняющиеся при непрерывных деформациях: связность, число дыр, компактность.
Simplicial complexes90%
Симплициальные комплексы · Топологический анализ данныхДискретная аппроксимация формы облака точек: точки, рёбра, треугольники и их многомерные аналоги.
Homology90%
Гомологии · Топологический анализ данныхАлгебраический аппарат, который считает дыры разных размерностей в топологическом пространстве.
Persistent Homology90%
Персистентные гомологии · Топологический анализ данныхЦентральный метод TDA: вместо одного порога ε рассматривается вся фильтрация, и отслеживается, когда топологические особенности рождаются и умирают.
Persistence Diagrams90%
Диаграммы персистентности · Топологический анализ данныхКаждая топологическая особенность — точка (рождение, смерть) на плоскости. Компактная сводка формы данных.
Persistence Landscapes90%
Ландшафты персистентности · Топологический анализ данныхПревращение диаграммы в набор кусочно-линейных функций — то есть в элемент гильбертова пространства.
Betti Numbers90%
Числа Бетти · Топологический анализ данныхРанги групп гомологий: β₀ — число компонент, β₁ — число независимых циклов, β₂ — число полостей.
Topological features90%
Топологические признаки · Топологический анализ данныхВекторизация топологии: энтропия персистентности, суммарная длина жизни, числа Бетти, persistence images.
TDA + Machine Learning90%
TDA и машинное обучение · Топологический анализ данныхТопологические признаки подаются в бустинг или нейросеть, либо топология встраивается прямо в функцию потерь.
TDA + Time Series90%
TDA и временные ряды · Топологический анализ данныхРяд вкладывается в фазовое пространство (Такенс), и топология полученного облака описывает динамику системы.
Metric spaces90%
Метрические пространства · Топологический анализ данныхМножество с функцией расстояния. Любой TDA-пайплайн начинается с выбора метрики.
k-Means75%
k-средних · Классическое машинное обучениеРазбивает объекты на k кластеров, минимизируя суммарное расстояние до центроидов.
DBSCAN75%
DBSCAN · Классическое машинное обучениеПлотностная кластеризация: кластеры — это связные области высокой плотности, остальное объявляется шумом.
GMM75%
Смесь гауссиан · Классическое машинное обучениеВероятностная модель: данные порождаются смесью нормальных распределений, параметры оцениваются EM-алгоритмом.
Clustering75%
Кластеризация · Обучение без учителяРазбиение объектов на группы похожих без заранее известных меток.
Density Estimation75%
Оценка плотности · Обучение без учителяВосстановление распределения данных: где объекты встречаются часто, а где почти никогда.
Association Rules75%
Ассоциативные правила · Обучение без учителяПоиск закономерностей вида «если A, то B» в транзакционных данных.
Silhouette Score75%
Силуэт · МетрикиСравнивает среднее расстояние объекта до своего кластера и до ближайшего чужого.
Davies–Bouldin75%
Индекс Дэвиса — Болдина · МетрикиОтношение внутрикластерного разброса к расстоянию между кластерами; чем меньше, тем лучше.
Calinski–Harabasz75%
Индекс Калинского — Харабаша · МетрикиОтношение межкластерной дисперсии к внутрикластерной; чем больше, тем лучше разделение.